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運動エネルギー
古典力学 | ||||||||||
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F=ddt(mv){displaystyle {boldsymbol {F}}={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}(m{boldsymbol {v}})}  運動の第2法則 | ||||||||||
歴史 | ||||||||||
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運動エネルギー（うんどうエネルギー、英語: kinetic energy）は、物体の運動に伴うエネルギーである。物体の速度を変化させる際に必要な仕事である。英語の kinetic は、「運動」を意味するギリシア語の κίνησις（kinesis）に由来する。この用語は1850年頃ウィリアム・トムソンによって初めて用いられた。
目次
1 質点の運動エネルギー
2 回転運動の運動エネルギー
3 解析力学における運動エネルギー
4 脚注
5 参考文献
6 関連項目
質点の運動エネルギー
ニュートン力学において、物体の運動エネルギーは、物体の質量と速さの二乗に比例する。
つまり、速度 v で運動する質量 m の物体の運動エネルギー K は、
K=12mv2{displaystyle K={frac {1}{2}}mv^{2}}
で与えられる[注 1]。
ニュートンの運動方程式が
mdvdt=F(t){displaystyle m{frac {d{boldsymbol {v}}}{dt}}={boldsymbol {F}}(t)}
と表されているとき、この力 F が時刻 t0 から t1 の間に為す仕事 Wt0→t1{displaystyle W_{t_{0}to t_{1}}}
Wt0→t1=∫t0t1(F(t)⋅dxdt)dt=∫t0t1(mdvdt⋅v(t))dt=∫t0t1ddt(12mv⋅v)dt=∫t0t1dKdtdt=K(t1)−K(t0){displaystyle {begin{aligned}W_{t_{0}to t_{1}}&=int _{t_{0}}^{t_{1}}left({boldsymbol {F}}(t)cdot {frac {d{boldsymbol {x}}}{dt}}right)dt\&=int _{t_{0}}^{t_{1}}left(m{frac {d{boldsymbol {v}}}{dt}}cdot {boldsymbol {v}}(t)right)dt\&=int _{t_{0}}^{t_{1}}{frac {d}{dt}}left({frac {1}{2}}m{boldsymbol {v}}cdot {boldsymbol {v}}right)dt\&=int _{t_{0}}^{t_{1}}{frac {dK}{dt}},dt\&=K(t_{1})-K(t_{0})end{aligned}}}
となる。
従って、物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい。
特に物体に一定の力 F が加えられ、物体の位置が x{displaystyle {boldsymbol {x}}}
- 12mv2(t1)−12mv2(t0)=F⋅Δx{displaystyle {frac {1}{2}}mv^{2}(t_{1})-{frac {1}{2}}mv^{2}(t_{0})={boldsymbol {F}}cdot Delta {boldsymbol {x}}}
という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で自由落下する場合、重力加速度は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。
また、力F を物体の質量m と加速度 α の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。
- v2(t1)−v2(t0)=2α⋅Δx.{displaystyle v^{2}(t_{1})-v^{2}(t_{0})=2{boldsymbol {alpha }}cdot Delta {boldsymbol {x}}.}
回転運動の運動エネルギー
同様に回転運動をする物体の運動エネルギーは、慣性モーメント I と角速度 ω の2乗に比例する。であるから
- K=12Iω2{displaystyle K={frac {1}{2}}Iomega ^{2}}
解析力学における運動エネルギー
ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン L は運動エネルギー K とポテンシャルエネルギー V の差として定義することができる。
- L(q,q˙;t)=K(q˙)−V(q){displaystyle L(q,{dot {q}};t)=K({dot {q}})-V(q)}
この際、ラグランジアンの変数は一般化座標 q(t){displaystyle q(t)}
多くの場合、一般化座標として位置 x{displaystyle x}
- K=∑i12mivi2+∑j12Iiωj2{displaystyle K=sum _{i}{frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}+sum _{j}{frac {1}{2}}I_{i}{omega _{j}}^{2}}
となる。
ハミルトン力学の出発点となるハミルトニアンH はラグランジアンのルジャンドル変換から、
- H(q,p;t)=∑pq˙−L{displaystyle H(q,p;t)=sum p{dot {q}}-L}
として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標 q(t){displaystyle q(t)}
- pi(t)=∂L∂vi=mivi{displaystyle p_{i}(t)={frac {partial L}{partial v_{i}}}=m_{i}v_{i}}
- lj(t)=∂L∂ωj=Ijωj{displaystyle l_{j}(t)={frac {partial L}{partial omega _{j}}}=I_{j}omega _{j}}
( l は回転角度 θ に共役な角運動量)となり、運動エネルギーは
- K=∑i12mipi2+∑j12Ijlj2{displaystyle K=sum _{i}{frac {1}{2m_{i}}}{p_{i}}^{2}+sum _{j}{frac {1}{2I_{j}}}{l_{j}}^{2}}
となる。
脚注
^ v は速度 v の大きさを表す。
参考文献
関連項目
位置エネルギー - 重力などのポテンシャルエネルギーによって発生する運動エネルギーが潜在している状態であるともいえる。
