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冪集合公理
数学における冪集合公理（べきしゅうごうこうり、英: axiom of power set）とは、公理的集合論のツェルメロ＝フレンケルの公理系の一つである。
ツェルメロ＝フレンケルの公理系の形式言語において、この公理は次のように記述される：
- ∀A∃P∀B[B∈P⟺∀C(C∈B⇒C∈A)]{displaystyle forall A,exists P,forall B,[Bin Piff forall C,(Cin BRightarrow Cin A)]}
![{displaystyle forall A,exists P,forall B,[Bin Piff forall C,(Cin BRightarrow Cin A)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b0b82ad1fc492b25812189aa48ecc86d4a2da0)
ここで P は A の冪集合 P(A){displaystyle {mathcal {P}}(A)}
- 任意の集合 A が与えられたとき、任意の集合 B が P(A){displaystyle {mathcal {P}}(A)}
部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。
冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、構成的集合論においては可術性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。
帰結
冪集合公理は、二つの集合 X{displaystyle X}
- X×Y={(x,y); x∈X∧y∈Y}.{displaystyle Xtimes Y={(x,y); xin Xland yin Y}.}
ここで
- x,y∈X∪Y,{displaystyle x,yin Xcup Y,}
- {x},{x,y}∈P(X∪Y),{displaystyle {x},{x,y}in {mathcal {P}}(Xcup Y),}
- (x,y):={{x},{x,y}}∈P(P(X∪Y)){displaystyle (x,y):={{x},{x,y}}in {mathcal {P}}({mathcal {P}}(Xcup Y))}
であり、
- X×Y⊆P(P(X∪Y)){displaystyle Xtimes Ysubseteq {mathcal {P}}({mathcal {P}}(Xcup Y))}
であるため、このデカルト積は集合であることに注意されたい。
任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：
- X1×⋯×Xn:=(X1×⋯×Xn−1)×Xn.{displaystyle X_{1}times cdots times X_{n}:=(X_{1}times cdots times X_{n-1})times X_{n}.}
デカルト積の存在は、クリプキ＝プラテクの集合論におけるように、冪集合公理を用いなくても証明できることに注意されたい。
参考文献
- Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
- Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
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