空集合の公理

空集合の公理 (くうしゅうごうのこうり、英: axiom of empty set) は、ZF集合論やKP集合論の公理の一つで、「いかなる集合も含まない集合が存在する」ことを主張するものである。ただし、この公理を採用しないZF公理系の定式化も存在する^[1]。

目次

• 
  1 定義
  


• 
  2 性質
  


• 
  3 脚注・出典
  


• 
  4 参考文献
  

定義

「ある集合 x が存在して、任意の y に対し、y は x の要素でない。」
すなわち、

∃x∀y¬(y∈x){displaystyle exists x,forall y,lnot (yin x)}

性質

外延性の公理により、公理で主張される集合は一意に存在することがわかる。その集合を「空集合」と呼び、通常は { } や ∅ の記号で表わす。空集合を表す定数記号を予め用意してZFを記述することもある。その場合、無限公理に現れる ∅ は単に何らかの集合を表す記号であり、空集合の公理によってはじめてそれが空であることが保証される。

この公理の主張自体は明白なものと考えられているが、一階述語論理と置換公理から導くことが可能なため^[2]、公理には加えないこともある。

脚注・出典

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1. 
   ^ ケネス・キューネン『集合論 独立性証明への案内』藤田博司訳、日本評論社、2008年、ISBN 978-4-535-78382-9
   


2. 
   ^ Metamath Proof Explorer, Theorem axnul
   

参考文献

• 
  Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2 
  

表 話 編 歴 集合論 公理 外延性の公理 空集合の公理 分出公理（英語版） 対の公理 和集合公理 冪集合公理 置換公理（英語版） 無限公理 正則性公理 選択公理 演算 和集合 共通部分 直積集合 商集合 補集合 差集合 対称差 冪集合 概念 濃度 基数 順序数 クラス 元 1対1の対応 ベン図 集合 空集合 有限集合 可算集合 無限集合 部分集合 理論 カントールの定理 素朴集合論（英語版） 公理的集合論 パラドックス ラッセルのパラドックス 人々 ゲオルク・カントール バートランド・ラッセル エルンスト・ツェルメロ アドルフ・フレンケル

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