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軌道長半径
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楕円の軌道長半径
軌道長半径（きどうちょうはんけい、英語：semi-major axis）とは、幾何学において楕円や双曲線のパラメータを表す数である。
目次
1 楕円
2 双曲線
3 天文学
3.1 位置ベクトルからの軌道長半径の計算
4 例
楕円
楕円では、軌道長半径とは長軸方向の半径である。軌道長半径を含む直線は中心と2つの焦点、楕円周上で最も曲率の大きい2点を通過する。円の場合には、軌道長半径は半径と一致する。
軌道長半径の長さa{displaystyle a!}
- b=a1−e2{displaystyle b=a{sqrt {1-e^{2}}},!}
- ℓ=a(1−e2){displaystyle ell =a(1-e^{2}),!}
- aℓ=b2{displaystyle aell =b^{2},!}
1つの焦点とℓ{displaystyle ell ,!}
軌道長半径は、1つの焦点から楕円周上への1点に至る、最小距離と最大距離の平均値となる。極座標系で1つの焦点を原点、もう1つの焦点をx軸の正方向に置くと、
r(1−ecosθ)=l{displaystyle r(1-ecos theta )=l,!}となり、
r=ℓ1+e{displaystyle r={ell over {1+e}},!}
双曲線
双曲線では、軌道長半径とは2つの分岐の間の半分の距離である。aがx軸方向にあるとすると、
(x−h)2a2−(y−k)2b2=1{displaystyle {frac {left(x-hright)^{2}}{a^{2}}}-{frac {left(y-kright)^{2}}{b^{2}}}=1}
半通径と離心率を使うと、
a=ℓe2−1{displaystyle a={ell over e^{2}-1}}
双曲線の主軸は、軌道長半径と同じ方向である。
天文学
- 公転周期
天体力学では、主星の周りを円または楕円軌道を描いて回る小さな天体の公転周期T{displaystyle T,}
T=2πa3/μ{displaystyle T=2pi {sqrt {a^{3}/mu }}}
a{displaystyle a,}は軌道長半径の値
μ{displaystyle mu }は重力定数と質量をかけた値
この式から、同じ軌道長半径を持つ楕円軌道の公転周期は、離心率に関わらず同じであることが分かる。
天文学において、軌道長半径は公転周期と並んで最も重要な軌道要素の1つである。太陽系では、軌道長半径はケプラーの第3法則によって公転周期と関係づけられる。
- T2=a3{displaystyle T^{2}=a^{3},}
ここでTは年で表した公転周期、aは天文単位で表した軌道長半径である。この式は、アイザック・ニュートンによって導かれた二体問題を記述する次の式から重力の項を単純化したものである。
- T2=4π2G(M+m)a3{displaystyle T^{2}={frac {4pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}
ここでGは重力定数、Mは主星の質量、mは伴星の質量である。通常、Mはmよりもずっと大きいため、mの影響は無視でき、ケプラーの式が導かれる。
位置ベクトルからの軌道長半径の計算
天体力学では、軌道長半径a{displaystyle a,}
その値は楕円ではa=−μ2ϵ{displaystyle a={-mu over {2epsilon }},}
ただし、ϵ=v22−μ|r|{displaystyle epsilon ={v^{2} over {2}}-{mu over left|mathbf {r} right|}}
v{displaystyle v,}は速度ベクトルから得られる軌道速度
r{displaystyle mathbf {r} ,}は主星の位置ベクトル
G{displaystyle G,}は重力定数
M{displaystyle M,}は主星の質量
例
国際宇宙ステーションは、公転周期が91.74分で、軌道長半径は6738kmである。
