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根二乗平均速度
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根二乗平均速度（こんにじょうへいきんそくど、英: root-mean-square speed）とは、速度の絶対値の二乗平均平方根、すなわち速度の大きさの二乗 v 2 の統計集団平均 ⟨v2⟩{displaystyle langle v^{2}rangle }
ここで速度 v の大きさ v は v の内積によって定められる。
- v=|v|:=v⋅v.{displaystyle v=|{boldsymbol {v}}|:={sqrt {{boldsymbol {v}}cdot {boldsymbol {v}}}},.}
根二乗平均速度は気体分子運動論などの議論において現れる。
速度の分散 |σ(v)|2{displaystyle |sigma ({boldsymbol {v}})|^{2}}
- |σ(v)|2=⟨v2⟩−⟨v⟩⋅⟨v⟩.{displaystyle |sigma ({boldsymbol {v}})|^{2}=langle v^{2}rangle -langle {boldsymbol {v}}rangle cdot langle {boldsymbol {v}}rangle ,.}
もしも速度の平均 ⟨v⟩{displaystyle langle {boldsymbol {v}}rangle }
このとき根二乗平均速度 ⟨v2⟩{displaystyle {sqrt {langle v^{2}rangle }}}
- ⟨v2⟩=|σ(v)|(⟨v⟩=0).{displaystyle {sqrt {langle v^{2}rangle }}=|sigma ({boldsymbol {v}})|quad (langle {boldsymbol {v}}rangle ={boldsymbol {0}}).}
従って根二乗平均速度から、巨視的な流れがないような系において、熱的なゆらぎに起因する速度の大きさを評価することができる。
目次
1 例
1.1 気体分子運動論
1.1.1 導出
2 脚注
2.1 注釈
2.2 出典
3 関連項目
例
気体分子運動論
気体分子運動論における、単原子分子の二乗平均速度は次のように表される。
- ⟨v2⟩=3RTM.{displaystyle {sqrt {langle v^{2}rangle }}={sqrt {frac {3RT}{M}}},.}
ここで、R ≈ 8.314 J/(K · mol) は気体定数、T は熱力学温度、M は分子量である。
ボルツマン定数 k B ≈ 1.381 × 10-23 J/K とアヴォガドロ定数 N A ≈ 6.022 × 1023 /mol, および分子質量 m を用いると、ボルツマン定数と分子量の定義より、
- R=kBNA,M=mNA{displaystyle R=k_{mathrm {B} }N_{mathrm {A} },quad M=mN_{mathrm {A} }}
という関係が成り立つので、以下のように書き直される。
- ⟨v2⟩=3kBTm.{displaystyle {sqrt {langle v^{2}rangle }}={sqrt {frac {3k_{mathrm {B} }T}{m}}},.}
この関係から直ちに、1 単原子分子が持つ平均の運動エネルギーは温度に比例することが分かる。
- ⟨12mv2⟩=32kBT.{displaystyle langle {frac {1}{2}}mv^{2}rangle ={frac {3}{2}}k_{mathrm {B} }T,.}
導出
単原子分子の理想気体の内部エネルギー U (T ) は以下の関係を満たす。
- U(T)=32nRT. ⋯ (1){displaystyle U(T)={3 over 2}nRT,.~~cdots ~~(1)}
ここで n は系のモル数である。これをボルツマン定数 k B と気体分子の個数 N を用いて書き直せば、n = N/N A なので、
- U(T)=32NkBT ⋯ (2){displaystyle U(T)={3 over 2}Nk_{mathrm {B} }T~~cdots ~~(2)}
となる。理想気体の持つエネルギーは気体分子の持つエネルギーの総和に等しく、気体分子の持つエネルギーは運動エネルギーのみなので、次の関係を満たす。
- U(T)=N⟨12mv2⟩. ⋯ (3){displaystyle U(T)=Nlangle {frac {1}{2}}mv^{2}rangle ,.~~cdots ~~(3)}
(2), (3) の右辺同士を比較すれば、
- N⟨12mv2⟩=32NkBT{displaystyle Nlangle {frac {1}{2}}mv^{2}rangle ={3 over 2}Nk_{mathrm {B} }T}
より、根二乗平均速度と温度の関係式が得られる。
- ⟨v2⟩=3kBTm. ⋯ (4){displaystyle {sqrt {langle v^{2}rangle }}={sqrt {frac {3k_{mathrm {B} }T}{m}}},.~~cdots ~~(4)}
脚注
注釈
出典
関連項目
- 統計力学
- 気体分子運動論
- 理想気体
- 理想気体の状態方程式
- マクスウェル分布
- ボルツマン分布
- 二乗平均平方根
