Mixing
モーメント (確率論)
確率論や統計学におけるモーメント（もーめんと、英: moment）または積率（せきりつ）とは、確率変数のべき乗に対する期待値で与えられる特性値。
目次
1 定義と性質
2 積率母関数による表示
3 特性関数による表示
4 キュムラントとの関係
5 例
5.1 ポアソン分布
5.2 正規分布
6 脚注
7 参考文献
8 関連項目
定義と性質
X を確率変数、α を定数としたときに、α に関するn次モーメント (n-th order moment) は次で定義される。
- ⟨(X−α)n⟩n=1,2,⋯{displaystyle langle (X-alpha )^{n}rangle quad n=1,2,cdots }
ここで、<…>は期待値を取る操作を表す。
X が離散型の場合は、
- ⟨(X−α)n⟩=∑i=1∞(xi−α)nPr(X=xi){displaystyle langle (X-alpha )^{n}rangle =sum _{i=1}^{infty }(x_{i}-alpha )^{n}Pr(X=x_{i})}
ここで x1, x2, … は確率変数 X の実現値である。
X が連続型の場合は、
- ⟨(X−α)n⟩=∫−∞∞(x−α)np(x)dx{displaystyle langle (X-alpha )^{n}rangle =int _{-infty }^{infty }(x-alpha )^{n}p(x),dx}
ここで p(x) は確率変数 X の確率密度関数である。
特に α = 0 の場合に、モーメントは mn と記される。
- mn=⟨Xn⟩n=1,2,⋯{displaystyle m_{n}=langle X^{n}rangle quad n=1,2,cdots }
期待値 μ は 1次のモーメント m1 に等しい。分散 σ2 は 2次のモーメント m1, m2 で表すことができる。すなわち、
- μ=m1,σ2=m2−m12.{displaystyle {begin{aligned}mu &=m_{1},\sigma ^{2}&=m_{2}-{m_{1}}^{2}.end{aligned}}}
m1 に関する n 次モーメントを μn で表し、n 次の中心モーメント (n-th order center moment)、またはn 次の中心化モーメントという。
- μn=⟨(X−m1)n⟩n=1,2,⋯{displaystyle mu _{n}=langle (X-m_{1})^{n}rangle quad n=1,2,cdots }
ここで、2次の中心モーメント μ2 は分散と一致する。
一般の確率分布において、モーメントは必ずしも有限値として存在するとは限らない。実際、コーシー分布
- p(x)=1π1x2+1{displaystyle p(x)={frac {1}{pi }}{frac {1}{x^{2}+1}}}
において、モーメントは全て無限大に発散する[1]。
積率母関数による表示
確率変数 X の積率母関数を次の式で定義する：
- M(ξ):=⟨eξX⟩=∫−∞∞eξxp(x)dx{displaystyle {begin{aligned}M(xi )&:=langle e^{xi X}rangle \&=int _{-infty }^{infty }e^{xi x}p(x),dxend{aligned}}}
その級数表示
- M(ξ)=∑n=0∞⟨Xn⟩n!ξn{displaystyle M(xi )=sum _{n=0}^{infty }{frac {langle X^{n}rangle }{n!}}xi ^{n}}
においては、ξ の n 次の項の係数部分に n 次のモーメント mn = <Xn> が現れる。この関係からモーメントは、モーメント母関数の導関数によって、次のように与えることができる。
- mn=dnM(ξ)dξn|ξ=0{displaystyle m_{n}={frac {d^{n}M(xi )}{dxi ^{n}}}{biggr vert }_{xi =0}}
特性関数による表示
確率変数Xに対する特性関数を次のように定義する：
- Φ(ξ):=⟨eiξX⟩=∫−∞∞eiξxp(x)dx{displaystyle {begin{aligned}Phi (xi )&:=langle e^{ixi X}rangle \&=int _{-infty }^{infty }e^{ixi x}p(x),dxend{aligned}}}
特性関数についても、その級数表示において、n 次のモーメントは ξ の n 次の項の係数に現れる。
- Φ(ξ)=∑n=0∞⟨Xn⟩n!(iξ)n{displaystyle Phi (xi )=sum _{n=0}^{infty }{frac {langle X^{n}rangle }{n!}}(ixi )^{n}}
この関係からモーメントは、特性関数の導関数によって、次のように与えることができる。
- mn=1indnΦ(ξ)dξn|ξ=0{displaystyle m_{n}={frac {1}{i^{n}}}{frac {d^{n}Phi (xi )}{dxi ^{n}}}{biggr vert }_{xi =0}}
キュムラントとの関係
n 次のキュムラントは、n 次以下のモーメントで表すことができる。
- c1=m1c2=m2−m12c3=m3−3m1m2+2m13c4=m4−4m3m1−3m22+12m2m12−6m14⋮{displaystyle {begin{aligned}c_{1}&=m_{1}\c_{2}&=m_{2}-{m_{1}}^{2}\c_{3}&=m_{3}-3m_{1}m_{2}+2{m_{1}}^{3}\c_{4}&=m_{4}-4m_{3}m_{1}-3{m_{2}}^{2}+12m_{2}{m_{1}}^{2}-6{m_{1}}^{4}\&vdots end{aligned}}}
逆に、n 次のモーメントは、n 次以下のキュムラントで表すことができる。
- m1=c1m2=c2+c12m3=c3+3c1c2+c13m4=c4+3c22+4c1c3+6c12c2+c14⋮{displaystyle {begin{aligned}m_{1}&=c_{1}\m_{2}&=c_{2}+{c_{1}}^{2}\m_{3}&=c_{3}+3c_{1}c_{2}+{c_{1}}^{3}\m_{4}&=c_{4}+3{c_{2}}^{2}+4c_{1}c_{3}+6{c_{1}}^{2}c_{2}+{c_{1}}^{4}\&vdots end{aligned}}}
例
ポアソン分布
確率質量関数が
- P(x=k)=λke−λk!{displaystyle P(x=k)={frac {lambda ^{k}e^{-lambda }}{k!}}}
で与えられるポアソン分布において、モーメントは次のように与えられる。
- m1=λm2=λ2+λm3=λ3+3λ2+λ⋮{displaystyle {begin{aligned}m_{1}&=lambda \m_{2}&=lambda ^{2}+lambda \m_{3}&=lambda ^{3}+3lambda ^{2}+lambda \&vdots end{aligned}}}
正規分布
確率密度関数が
- p(x)=12πσe−(x−μ)22σ2{displaystyle p(x)={frac {1}{{sqrt {2pi }}sigma }}e^{-{frac {(x-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}}}
で与えられる正規分布において、n 次の中心モーメントは n が奇数のときは 0 で、偶数のときのみ 0 でない値をとる。
- μn={0(n:odd)1⋅3⋅5⋯(n−1)σn(n:even){displaystyle mu _{n}=left{{begin{matrix}0&(n:{mbox{odd}})\1cdot 3cdot 5cdots (n-1)sigma ^{n}&(n:{mbox{even}})end{matrix}}right.}
脚注
^ コーシー分布の特性関数
- Φ(ξ)=e−|ξ|{displaystyle Phi (xi )=e^{-|xi |}}
は、0 において解析的ではなく、このことからもモーメントが存在しないことが分かる。
- Φ(ξ)=e−|ξ|{displaystyle Phi (xi )=e^{-|xi |}}
参考文献
添田喬、太田光雄、大松繁『数理統計の基礎と応用』日新出版 (2000), ISBN 978-4817301079
関連項目
モーメント (数学)（より一般的なモーメントの定義）
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