アルティン・リースの補題




数学において、アルティン・リースの補題（英: Artin–Rees lemma）は、ヒルベルトの基底定理のような結果とともに、ネーター環上の加群についての基本的な結果である。1950年代に数学者エミール・アルティンとDavid Rees（英語版）によって独立に証明された。特別な場合は オスカー・ザリスキ に先に知られていた。


この補題から得られる結果にクルルの交叉定理がある。また、完備化の完全性を証明するためにも使われる(Atiyah & MacDonald 1969, pp. 107–109)。




目次






  • 1 補題の主張


  • 2 証明


  • 3 クルルの交叉定理の証明


  • 4 参考文献


  • 5 外部リンク





補題の主張


I をネーター環 R のイデアルとする。M を有限生成 R-加群とし N をその部分加群とする。このときある整数 k ≥ 1 が存在して、n ≥ k に対して、次が成り立つ。


InM∩N=In−k((IkM)∩N){displaystyle I^{n}Mcap N=I^{n-k}((I^{k}M)cap N)}I^{{n}}Mcap N=I^{{n-k}}((I^{{k}}M)cap N)


証明


必要な概念や表記が準備されてしまえば、補題は R が「ネーター的」であるという事実から直ちに従う[1]。


任意の環 R および R のイデアル I に対して、blIR=⊕0∞In{displaystyle mathrm {bl} _{I}R=oplus _{0}^{infty }I^{n}}{mathrm {bl}}_{I}R=oplus _{0}^{infty }I^{n} とおく（blow-up のbl）。部分加群の減少列 M=M0⊃M1⊃M2⊃⋯{displaystyle M=M_{0}supset M_{1}supset M_{2}supset cdots }M=M_{0}supset M_{1}supset M_{2}supset cdots が I-フィルター（I-filtration）であるとは、IMn⊂Mn+1{displaystyle IM_{n}subset M_{n+1}}IM_{n}subset M_{{n+1}} が成り立つときにいう。さらに、それが安定（stable）であるとは、十分大きい n に対して IMn=Mn+1{displaystyle IM_{n}=M_{n+1}}IM_{n}=M_{{n+1}} であるときにいう。M に I-フィルターが与えられているとき、blIM=⊕0∞Mn{displaystyle mathrm {bl} _{I}M=oplus _{0}^{infty }M_{n}}{mathrm {bl}}_{I}M=oplus _{0}^{infty }M_{n} とおく。これは blIR{displaystyle mathrm {bl} _{I}R}{mathrm {bl}}_{I}R 上の次数加群である。


さて、M を R-加群とし、有限生成 R-加群による I-フィルター Mi{displaystyle M_{i}}M_{i} が与えられているとする。次のことを確認する。



blIM{displaystyle mathrm {bl} _{I}M}{mathrm {bl}}_{I}M が blIR{displaystyle mathrm {bl} _{I}R}{mathrm {bl}}_{I}R 上有限生成加群であることと、フィルターが I-安定であることは同値である。

実際、フィルターが I-安定であれば、blIM{displaystyle mathrm {bl} _{I}M}{mathrm {bl}}_{I}M ははじめの k+1{displaystyle k+1}k+1 個の M0,…,Mk{displaystyle M_{0},dots ,M_{k}}M_{0},dots ,M_{k} によって生成され、これらは有限生成であるので、blIM{displaystyle mathrm {bl} _{I}M}{mathrm {bl}}_{I}M も有限生成である。逆に、blIM{displaystyle mathrm {bl} _{I}M}{mathrm {bl}}_{I}M が有限生成であれば、⊕0kMj{displaystyle oplus _{0}^{k}M_{j}}oplus _{0}^{k}M_{j} として、n≥k{displaystyle ngeq k}ngeq k に対して、各 f ∈ Mn は


f=∑aijgij,aij∈In−j{displaystyle f=sum a_{ij}g_{ij},quad a_{ij}in I^{n-j}}f=sum a_{{ij}}g_{{ij}},quad a_{{ij}}in I^{{n-j}}

と書ける。ただし gij{displaystyle g_{ij}}g_{{ij}} は Mj,j≤k{displaystyle M_{j},jleq k}M_{j},jleq k の生成元。つまり、f∈In−kMk{displaystyle fin I^{n-k}M_{k}}fin I^{{n-k}}M_{k} である。


これで R がネーター的であると仮定すれば補題を証明できる。Mn=InM{displaystyle M_{n}=I^{n}M}M_{n}=I^{n}M とする。すると Mn{displaystyle M_{n}}M_{n} は I-安定なフィルターである。したがって、上記より、blIM{displaystyle mathrm {bl} _{I}M}{mathrm {bl}}_{I}M は blIR{displaystyle mathrm {bl} _{I}R}{mathrm {bl}}_{I}R 上有限生成である。しかし blIR≃R[It]{displaystyle mathrm {bl} _{I}Rsimeq R[It]}{mathrm {bl}}_{I}Rsimeq R[It] は R がネーター環なのでネーター環である。（環 R[It]{displaystyle R[It]}R[It] はリース代数（英語版）と呼ばれる。）したがって、blIM{displaystyle mathrm {bl} _{I}M}{mathrm {bl}}_{I}M はネーター加群であり任意の部分加群は blIR{displaystyle mathrm {bl} _{I}R}{mathrm {bl}}_{I}R 上有限生成である。とくに、N に induced filtration が与えられているとき、すなわち Nn=Mn∩N{displaystyle N_{n}=M_{n}cap N}N_{n}=M_{n}cap N であるとき、blIN{displaystyle mathrm {bl} _{I}N}{mathrm {bl}}_{I}N は有限生成である。すると induced filtration も上記の確認により I-安定である。



クルルの交叉定理の証明


環の完備化における使用に加えて、補題の典型的な応用はクルルの交叉定理 (Krull's intersection theorem)


ネーター局所環の真のイデアル I に対して、∩1∞In=0{displaystyle cap _{1}^{infty }I^{n}=0}cap _{1}^{infty }I^{n}=0

の証明である。共通部分 N に補題を適用すれば、ある k が存在して n≥k{displaystyle ngeq k}ngeq k に対して


In∩N=In−k(Ik∩N){displaystyle I^{n}cap N=I^{n-k}(I^{k}cap N)}I^{{n}}cap N=I^{{n-k}}(I^{{k}}cap N)

が成り立つ。ところがこのとき N=IN{displaystyle N=IN}N=IN なので中山の補題によって N=0{displaystyle N=0}N=0 である。



参考文献





  1. ^ Eisenbud, Lemma 5.1.





  • Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8 


  • Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.



外部リンク



  • Artin-Rees Theorem - PlanetMath.org（英語）



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