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アルティン・リースの補題
数学において、アルティン・リースの補題（英: Artin–Rees lemma）は、ヒルベルトの基底定理のような結果とともに、ネーター環上の加群についての基本的な結果である。1950年代に数学者エミール・アルティンとDavid Reesによって独立に証明された。特別な場合は オスカー・ザリスキ に先に知られていた。
この補題から得られる結果にクルルの交叉定理がある。また、完備化の完全性を証明するためにも使われる(Atiyah & MacDonald 1969, pp. 107–109)。
目次
1 補題の主張
2 証明
3 クルルの交叉定理の証明
4 参考文献
5 外部リンク
補題の主張
I をネーター環 R のイデアルとする。M を有限生成 R-加群とし N をその部分加群とする。このときある整数 k ≥ 1 が存在して、n ≥ k に対して、次が成り立つ。
- InM∩N=In−k((IkM)∩N){displaystyle I^{n}Mcap N=I^{n-k}((I^{k}M)cap N)}
証明
必要な概念や表記が準備されてしまえば、補題は R が「ネーター的」であるという事実から直ちに従う[1]。
任意の環 R および R のイデアル I に対して、blIR=⊕0∞In{displaystyle mathrm {bl} _{I}R=oplus _{0}^{infty }I^{n}}
さて、M を R-加群とし、有限生成 R-加群による I-フィルター Mi{displaystyle M_{i}}
blIM{displaystyle mathrm {bl} _{I}M}が blIR{displaystyle mathrm {bl} _{I}R}
実際、フィルターが I-安定であれば、blIM{displaystyle mathrm {bl} _{I}M}
- f=∑aijgij,aij∈In−j{displaystyle f=sum a_{ij}g_{ij},quad a_{ij}in I^{n-j}}
と書ける。ただし gij{displaystyle g_{ij}}
これで R がネーター的であると仮定すれば補題を証明できる。Mn=InM{displaystyle M_{n}=I^{n}M}
![{mathrm {bl}}_{I}Rsimeq R[It]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5ad1da048f94ac69af1ca6fffdd2e86308e3f8)
![R[It]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05d145b0825063014119407a8cd0c164e94a0d3)
クルルの交叉定理の証明
環の完備化における使用に加えて、補題の典型的な応用はクルルの交叉定理 (Krull's intersection theorem)
- ネーター局所環の真のイデアル I に対して、∩1∞In=0{displaystyle cap _{1}^{infty }I^{n}=0}
の証明である。共通部分 N に補題を適用すれば、ある k が存在して n≥k{displaystyle ngeq k}
- In∩N=In−k(Ik∩N){displaystyle I^{n}cap N=I^{n-k}(I^{k}cap N)}
- In∩N=In−k(Ik∩N){displaystyle I^{n}cap N=I^{n-k}(I^{k}cap N)}
が成り立つ。ところがこのとき N=IN{displaystyle N=IN}
参考文献
^ Eisenbud, Lemma 5.1.
Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
外部リンク
Artin-Rees Theorem - PlanetMath.org（英語）
