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双曲線
双曲線
双曲線（そうきょくせん、英: hyperbola）とは、2次元ユークリッド空間 R2 上で定義され、ある2点 P, Q からの距離の差が一定であるような曲線の総称である。この P, Q は焦点と呼ばれる。双曲線は、次の陰関数曲線の直交変換によって決定することができる。
- x2a2−y2b2=1(∗){displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1quad (*)}
この場合、焦点の座標は
- P(−a2+b2,0) , Q(a2+b2,0){displaystyle P(-{sqrt {a^{2}+b^{2}}},0) , Q({sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)}
と書ける。このとき、2焦点から曲線への距離の差は 2a となる。また、双曲線には2つの漸近線が存在しており、
- bx+ay=0 , bx−ay=0{displaystyle bx+ay=0 , bx-ay=0}
である。漸近線が直交している、すなわち a = b であるとき、この双曲線を特に直角双曲線と呼んだりする。
反比例のグラフ xy = C も双曲線の一種である。これは、直角双曲線：a2−b2=2C{displaystyle a^{2}-b^{2}=2C}
双曲線は、双曲線関数を用いて媒介変数表示することができる。
- {x=±acoshty=bsinht{displaystyle {begin{cases}x=pm acosh t\y=bsinh tend{cases}}}
目次
1 円錐曲線としての双曲線
2 関連項目
3 外部リンク
4 参考文献
円錐曲線としての双曲線
円錐切断面の4つのタイプ (放物線、楕円、円、双曲線)
離心率が e であるような円錐曲線を Ce とする。このとき、e > 1 であれば、 Ce は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が x = -f , 焦点の一つが P = (f,0) となったとする。双曲線の任意の点 T = (x,y) に対し、方程式
- e(x−f)=d(P,T){displaystyle e(x-f)=d(P,T)}
が成立するが、d(P,T)=(x−f)2+y2{displaystyle d(P,T)={sqrt {(x-f)^{2}+y^{2}}}}
- x2+2(e2+1e2−1)fx−y2e2−1=−f2{displaystyle x^{2}+2left({frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}right)fx-{frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=-f^{2}}
さらに x に関して平方完成させることにより、
- (x+(e2+1e2−1)f)2−y2e2−1=(2ee2−1f)2{displaystyle left(x+left({frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}right)fright)^{2}-{frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=left({frac {2e}{e^{2}-1}}fright)^{2}}
これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに直交変換：X=x+e2+1e2−1f{displaystyle X=x+{frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}f}
また、双曲線は、円錐を底面を通る軸に平行でない面で切断したときの、切断面の境界である。
関連項目
- 双曲面
- 円錐曲線
- 楕円
- 放物線
- レムニスケート
- 天体力学
- 彗星
外部リンク
- デカルトの双曲線作図器１
参考文献
- 『曲線の事典 性質・歴史・作図法』 礒田正美、Maria G. Bartolini Bussi編、田端毅、讃岐勝、礒田正美著:共立出版、2009年 ISBN 9784320019072
